微分方程-概念

我想讲一个新概念，微分方程的概念。让我们来看一个定义。包含未知函数导数的方程称为微分方程。我这里有一些例子。Dy / dx = 2x。这里未知的函数是y y关于x的二阶导数是6x+8。这里二阶导数减去x乘以一阶导数加上函数本身等于0。等等......
微分方程是按阶分类的，微分方程的阶数是由方程中最高阶导数决定的。这是一阶的因为这里有一个一阶导数。这是一个二阶微分方程，因为这是二阶方程。它有一个一阶和一个二阶，所以它是一个二阶微分方程，也是一个二阶。又是一个一阶。当然你也可以微分方程的阶数没有限制但我们只关注一阶和二阶方程也很简单。
我们来讨论一下什么是解。微分方程的解是满足方程的函数。当我们解微分方程的时候我们要做的就是找到所有的解。我们来看一个例子。这是第一个例子，dy / dx = 2x。这个函数的导数在每一点处都有a = x，我们要找出它是什么样的函数。当你有关于函数导数的信息时你可以通过反微分得到关于函数的信息。如果已知导数是2x那么函数本身y就是2x dx的积分。现在，如果导数是关于x的，我们就对x积分，当然我们可以解出来。
y=x²+ c，对吧?2x的不定积分是x²+ c，它描述了所有满足这个微分方程的函数。它们都是抛物线。现在，如果你要画一幅图让我们快速地到这里。抛物线像这样，像这样，像这样。这些都是原微分方程的解。我们把这样的东西叫做微分方程的通解因为在一个公式中我们有所有的解。对于我们代入的c的每一个值我们都会得到不同的解。现在，例如c可以是0。Y =x²来解这个微分方程。 But y=x squared plus 100 is also a solution. And so in one formula we have for representation of all the solutions, all infinite of them. So that's called a general solution, the differential equation.and that's going to be one of our goals when we're solving differential equations.
我们刚刚看到的是微分方程有很多解很多解有时可以写成一个通解。我们有这个微分方程dy / dx = 2x它有一个通解y=x²+ c。
还有一种类型的问题你们可能会在作业中看到当给你一个微分方程和一个初始条件当x=-3时y=0这可以帮助你缩小范围。在这些通解中你可以把它缩小到一个特解。一个特解经过这一点。从微分方程我们可以得到通解y=x²+ c然后我们用这个初始条件，当x=-3时y=0。因此，代入-3,y = 0这有助于我们解出c的值，这个特解需要的c的特值。这就是9+c=0。所以c = 9。所以特解是y=x²- 9。它是通解中的一个。通解的一个特例。 So this is a particular solution to our differential equation with initial condition.
我们来总结一下。你们可以在作业中看到两类问题。首先求微分方程的通解。它表示无穷多个不同的解。你也可以有一个微分方程加上初始条件它通常会有一个特解所以你可能有一个微分方程这就是初始条件的样子。它是y的一个条件，有时它是导数的一个条件，当x=-3时y=0。这叫做初值问题的特解，微分方程加初值条件。